Відображення зі скінченним спотворенням довжини та ріманові поверхні

Рязанов, ВI
Волков, СВ
Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020, 6:7-14
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.06.007
Розділ: Математика
Мова: Англійська
Анотація: 

У термінах дилатацій доведено ряд критеріїв для неперервного та гомеоморфного продовження на границю відображень зі скінченним спотворенням довжини між областями на ріманових поверхнях. Критерієм для неперервного продовження обернених відображень на границю є дуже проста умова про інтегрованість дилатації в першому степені. При цьому область визначення відображення передбачається локально зв’язною на границі, а область значень — зі слабо плоскою границею. Критерії для неперервного продовження на границю прямих відображень мають набагато тоншу природу. Один із критеріїв полягає в існуванні мажоранти дилатації в класі функцій зі скінченним середнім коливанням, тобто таких, що мають кінцеве середнє відхилення від свого середнього значення над інфінітезимальними (нескінченно малими) колами з центром у відповідній граничній точці. Більш жорстка, але більш проста вимога полягає в тому, що середнє значення дилатації над інфінітезимальними колами з центром у відповідній граничній точці скінченне. Область визначення знову передбачається локально зв’язною на границі, а область значень — із сильно досяжною границею. Також наведено багато інших критеріїв неперервного продовження на границю прямих відображень. Як наслідки отримуємо відповідні критерії для гомеоморфного продовження на границю областей відображень зі скінченним спотворенням довжини.

Ключові слова: відображення зі скінченним спотворенням довжини, ріманові поверхні, сильно досяжні й слабо плоскі границі